Rafał Kleszcz naukę gry na klarnecie rozpoczął w wieku 13 lat w Ogólnokształcącej Szkole Muzycznej w Dębicy (Polska). Jest laureatem ponad trzydziestu krajowych i międzynarodowych konkursów klarnetowych. Jedną z najważniejszych jest I nagroda w V Międzynarodowym Konkursie Klarnetowym w Lizbonie.

W 2016 roku był laureatem I nagrody w międzynarodowych konkursach muzycznych takich jak Zachodniopomorski Festiwal Klarnetowy w Szczecinie, czy Międzynarodowy Konkurs Instrumentów Dętych we Wrocławiu. W 2018 roku zajął I miejsce w Międzynarodowym Konkursie Muzyki Współczesnej w Krakowie, a także I miejsce i nagrodę Grand Prix Festiwalu Instrumentów Dętych w Kielcach.

W 2019 roku wygrał Ogólnopolski Konkurs Klarnetowy organizowany przez Centrum Edukacji Artystycznej w Warszawie oraz V Międzynarodowy Konkurs Klarnetowy w Lizbonie. W 2020 roku został laureatem I miejsca Międzynarodowego Konkursu Instrumentów Dętych w Białymstoku oraz zajął II miejsce w konkursie „Premio di Interpretazione Musicale Città di Chiavari”. Rafał został zakwalifikowany do V Międzynarodowego Konkursu Klarnetowego w Ghent oraz do Międzynarodowego Konkursu Klarnetowego w Cluj.

Brał udział w wielu kursach mistrzowskich prowadzonych przez wybitnych muzyków i pedagogów, m.in. Florenta Heau, Jean-Marca Fessarda, Stephana Vermeerscha, Karela Dohnala, Gabora Vargę. Rafał był stypendystą Krajowego Funduszu na Rzecz Dzieci, a także laureatem programu Młoda Akademia Muzyczna organizowanego przez Akademię Muzyczną w Katowicach, gdzie obecnie studiuje w klasie klarnetu prof. Romana Widaszka.